复变函数与积分变换 - 中国高校教材图书网
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书名： |
复变函数与积分变换
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| ISBN： | 978-7-5628-2427-5 |
责任编辑： | |
| 作者： |
赵建丛
相关图书
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装订： | 平装 |
| 印次： | 1-1 |
开本： | 大32开 |
| 定价： |
￥28.00
折扣价：￥25.20
折扣：0.90
节省了2.8元
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字数： |
270千字
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| 出版社： |
华东理工大学出版社 |
页数： |
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| 出版日期： |
2008-11-01 |
每包册数： |
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| 国家规划教材： |
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省部级规划教材： |
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| 入选重点出版项目： |
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获奖信息： |
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| 内容简介： |
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本书是针对高等院校工科专业编写的复变函数与积分变换教材，内容共分8章，包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的幂级数表示、留数及其应用、共形映射、Fourier变换和Laplace变换等.全书内容叙述简洁，通俗易懂，适于自学.既可作为高校工科专业的复变函数与积分变换课程的教材，也适于理科非数学专业作为复变函数与积分变换的教材，也可作为研究生及工程技术人员的参考用书.
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| 作者简介： |
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| 章节目录： |
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1复数与复变函数1 1.1复数及其运算1 1.1.1复数的概念 1 1.1.2复平面1 1.1.3复数的四则运算4 1.1.4复数的乘幂与开方7 1.1.5复球面与无穷远点9 1.2平面点集的一般概念9 1.2.1区域9 1.2.2平面曲线10 1.3复变函数12 1.3.1复变函数的概念12 1.3.2复变函数的极限与连续14 1.3.3复变函数的导数与微分16 习题一18 2解析函数20 2.1解析函数的概念与柯西黎曼方程20 2.1.1解析函数的概念20 2.1.2柯西黎曼方程21 2.2初等函数及其解析性25 2.2.1指数函数 25 2.2.2对数函数26 2.2.3幂函数27 2.2.4三角函数和反三角函数28 2.2.5双曲函数与反双曲函数30 2.3解析函数与调和函数的关系31 习题二35 3复变函数的积分37 3.1复变函数积分的概念37 3.1.1复变函数积分的定义37 3.1.2复变函数积分的存在条件38 3.1.3复变函数积分的基本性质38 3.1.4复变函数积分的计算39 3.2柯西积分定理41 3.2.1柯西积分定理41 3.2.2变上限积分与原函数43 3.3复合闭路定理45 3.4柯西积分公式46 3.4.1柯西积分公式47 3.4.2高阶求导公式48 习题三51 阶段复习题一53 4解析函数的幂级数表示56 4.1复级数的基本概念56 4.1.1复数列的极限56 4.1.2复数项级数56 4.1.3复变函数项级数58 4.2幂级数59 4.2.1幂级数的收敛性59 4.2.2幂级数的运算和性质62 4.3解析函数的泰勒展开63 4.3.1泰勒(Taylor)定理63 4.3.2解析函数的泰勒展开法65 4.4洛朗级数68 4.4.1洛朗级数的概念69 4.4.2解析函数的洛朗展开70 习题四75 5留数及其应用77 5.1孤立奇点77 5.1.1孤立奇点的三种类型77 5.1.2极点和零点的关系80 5.1.3函数在无穷远点的性质 82 5.2留数83 5.2.1留数的定义83 5.2.2极点处留数的计算84 5.2.3留数定理86 5.2.4函数在无穷远点的留数90 5.3利用留数计算实积分93 5.3.1形如∫2π0R（cosθ， sinθ）dθ的积分93 5.3.2形如∫+∞-∞R（x）dx的积分95 5.3.3形如∫+∞-∞R（x）eiαxdx（α>0）的积分96 习题五100 6共形映射102 6.1共形映射的概念102 6.1.1解析函数的导数的几何意义102 6.1.2共形映射的定义104 6.2分式线性映射105 6.2.1分式线性映射及其分解105 6.2.2分式线性映射的几何性质 107 6.2.3分式线性映射的确定109 6.3几种常见的分式线性映射112 6.3.1把上半平面映射成上半平面的分式线性映射112 6.3.2把上半平面映射成单位圆内部的分式线性映射11２ 6.3.3把单位圆内部映射成单位圆内部的分式线性映射115 6.4几个初等函数构成的映射116 6.4.1幂函数与根值函数116 6.4.2指数函数和对数函数120 习题六122 阶段复习题二123 7Fourier变换126 7.1Fourier积分公式126 7.2Fourier变换130 7.2.1Fourier变换的概念130 7.2.2Fourier变换的物理定义——非周期函数的频谱133 7.3δ函数及其Fourier变换136 7.3.1δ函数的定义和性质137 7.3.2δ函数的Fourier变换138 7.4 Fourier变换的性质140 7.4.1线性性质140 7.4.2位移性质141 7.4.3微分性质142 7.4.4像函数的微分性质143 7.4.5积分性质144 7.4.6对称性质145 7.4.7相似性质145 7.5Fourier变换的卷积性质146 习题七150 8Laplace变换152 8.1Laplace变换的概念152 8.1.1Laplace变换的定义152 8.1.2Laplace变换存在的条件154 8.1.3周期函数的Laplace变换157 8.2Laplace变换的性质158 8.2.1线性性质158 8.2.2相似性质 158 8.2.3微分性质159 8.2.4积分性质160 8.2.5位移性质163 8.2.6延迟性质163 8.3Laplace逆变换164 8.3.1反演积分公式165 8.3.2Laplace逆变换的计算165 8.4卷积168 8.4.1卷积的定义168 8.4.2卷积定理169 8.5Laplace变换的应用170 8.5.1求解常系数的常微分方程170 8.5.2求解常系数线性微分方程组173 8.5.3解微分积分方程175 习题八177 阶段复习题三179 模拟试卷（一）183 模拟试卷（二）185 习题参考答案187 附录一Fourier变换简表198 附录二Laplace变换简表201 参考文献206
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| 精彩片段： |
4．1．3复变函数项级数
定义4．3设{fn（z）}（n＝1， 2， …）为一复变函数列，其中各项均在复数域D上有定义，称表达式∑∞〖〗n＝1fn（z）＝f1（z）＋f2（z）＋…＋fn（z）＋…（4．2）为复变函数项级数．该级数的前n项和Sn（z）＝f1（z）＋f2（z）＋…＋fn（z）为级数的部分和．
若z0为D上的固定点，limn→∞Sn（z）＝S（z0），则称复变函数项级数（4.2）在z0点收敛，z0称为级数∑∞〖〗n＝1fn（z）的一个收敛点，收敛点的集合称为级数∑∞〖〗n＝1fn（z）的收敛域．若级数∑∞〖〗n＝1fn（z）在z0点发散，则称z0为级数∑∞〖〗n＝1fn（z）的发散点，发散点的集合称为级数∑∞〖〗n＝1fn（z）的发散域．
若对D内的任意点z，都有limn→∞Sn（z）＝S（z），则称级数∑∞〖〗n＝1fn（z）在D内处处收敛．并称S（z）为级数的和函数．
下面我们重点讨论一类特别的解析函数项级数——幂级数，它是复变函数项级数中最简单的情形．
4．2幂级数〖〗
在复变函数项级数的定义中，若取fn（z）＝an（z－z0）n或fn（z）＝anzn（n＝1， 2， …），就得到函数项级数的特殊情形∑∞〖〗n＝0an（z－z0）n＝a0＋a1（z－z0）＋a2（z－z0）2＋…＋an（z－z0）n＋… （4．3）或∑∞〖〗n＝0anzn＝a0＋a1z＋a2z2＋…＋anzn＋…（4．4）形如（4.3）或（4.4）的级数称为幂级数，其中，a0， a1， …， an， …和z0均为复常数．
在级数（4．3）中，令z－z0＝ξ，则化为式（4．4）的形式，称级数（4．4）为幂级数的标准形式，式（4．3）称为幂级数的一般形式．为方便，今后我们以幂级数的标准形式（4．4）为主来讨论，相关结论可平行推广到幂级数的一般形式（4．3）．
4．2．1幂级数的收敛性
关于幂级数收敛问题，我们先介绍下面的定理．定理4．5（Abel定理）若幂级数∑∞〖〗n＝0anzn在z＝z0（≠0）处收敛，则此级数在｜z｜＜｜z0｜内绝对收敛（即∑∞〖〗n＝0｜anzn｜收敛）；若在z＝z0处发散，则在｜z｜＞｜z0｜内级数发散．
证若∑∞〖〗n＝0anzn在z＝z0（≠0）处收敛，即级数∑∞〖〗n ＝ 0anzn0收敛，
所以limn→∞anzn0＝0因而，存在常数M＞0使得对所有的n，有｜anzn0｜＜M当｜z｜＜｜z0｜时，｜anzn｜＝｜anz0｜z〖〗z0n＜Mz〖〗z0n，而级数∑∞〖〗n＝0z〖〗z0n收敛，
所以，∑∞〖〗n＝0anzn绝对收敛．
若∑∞〖〗n＝0anzn在z＝z0（≠0）发散，假设存在一点z1，使得当｜z1｜＞｜z0｜时，∑∞〖〗n ＝ 0anzn1收敛．
则由上面讨论可知，∑∞〖〗n ＝ 0anzn0收敛，与已知∑∞〖〗n ＝ 0anzn0发散矛盾！
因此，∑∞〖〗n＝0anzn在｜z｜＞｜z0｜发散．
由Abel定理，我们可以确定幂级数的收敛范围，对于一个幂级数来说，它的收敛情况有以下三种情形：
（1） 对所有正实数z＝x， ∑∞〖〗n＝0anxn都收敛，由Abel定理，∑∞〖〗n＝0anzn在复平面上处处绝对收敛；
（2） 对所有的正实数x，∑∞〖〗n＝0anxn（x≠0）发散，由Abel定理，∑∞〖〗n＝0anzn在复平面内除原点z＝0外处处发散；
（3） 既存在使级数收敛的正实数x1＞0，也存在使级数发散的正实数x2＞0，即z＝x1时级数∑∞〖〗n ＝ 0anxn1收敛，z＝x2时级数∑∞〖〗n ＝ 0anxn2发散．由Abel定理，∑∞〖〗n＝0anzn在｜z｜≤x1内，级数绝对收敛，在｜z｜≥x2内级数发散．
在情形（3）中，可以证明，一定存在一个有限的正数R，使得幂级数∑∞〖〗n＝0anzn在圆｜z｜＜R内绝对收敛，在｜z｜＞R时发散，则称R为幂级数的收敛半径，称｜z｜＜R为幂级数的收敛圆．
约定在第一种情形，R＝∞；第二种情形，R＝0．
而对于幂级数∑∞〖〗n＝0an（z－z0）n，收敛圆是以z0为圆心，R为半径的圆：｜z－z0｜＜R．
至于在收敛圆的圆周｜z｜＝R（或｜z－z0｜＝R）上，∑∞〖〗n＝0anzn或∑∞〖〗n＝0an（z－z0）n的收敛性较难判断，可视具体情况而定．
关于幂级数收敛半径的求法，同实函数的幂级数类似，可以用比值法和根植法．定理4．6（ 幂级数收敛半径的求法）设幂级数∑∞〖〗n＝0anzn，若下列条件之一成立：
（1） （比值法）limn→∞an＋1〖〗an＝L；
（2） （根值法）limn→∞n〖〗｜an｜＝L.
则幂级数∑∞〖〗n=0anzn的收敛半径R＝1〖〗L．
证明从略.
当L＝0时，R＝∞；当L＝∞时，R＝0．
例4．4求下列幂级数的收敛半径：
（1） ∑∞〖〗n＝1zn〖〗n3（讨论圆周上情形）；（2） ∑∞〖〗n＝1（z－1）n〖〗n（讨论z＝0， 2的情形）；
（3） ∑∞〖〗n＝0（cosin）zn．
解（1）因为limn→∞an＋1〖〗an＝limn→∞1〖〗（n＋1）3〖〗1〖〗n3＝limn→∞n〖〗n＋13＝1或者limn→∞n 〖〗｜an｜＝limn→∞n〖〗1〖〗n3＝limn→∞1〖〗n〖〗n3＝1所以，收敛半径R＝1，从而级数的收敛圆为｜z｜＜1．由于在圆周｜z｜＝1，级数∑∞〖〗n＝1zn〖〗n3＝∑∞〖〗n＝11〖〗n3收敛（p级数，p＝3＞1），所以，级数在圆周｜z｜＝1上也收敛．因此，所给级数的收敛范围为｜z｜≤1．
（2） 由于limn→∞an＋1〖〗an＝limn→∞1〖〗（n＋1）〖〗1〖〗n＝limn→∞n〖〗n＋1＝1，故收敛半径R＝1，从而它的收敛圆为｜z－1｜＜1．
在圆周｜z－1｜＝1上，当z＝0时，原级数成为∑∞〖〗n＝1（－1）n1〖〗n（交错级数），所以收敛；当z＝2时，原级数为∑∞〖〗n＝11〖〗n，发散．表明在收敛圆周上，既有收敛点又有发散点．
（3） 由于an＝cosin＝1〖〗2（en－e－n），所以limn→∞an＋1〖〗an＝limn→∞en＋1－e－（n＋1）〖〗en－e－n＝limn→∞en（e－e－2n－1）〖〗en（1－e－2n）＝e故收敛半径为R＝1〖〗e．
例4．5求幂级数∑∞〖〗n＝1（－1）n1＋sin1〖〗n－n2zn的收敛半径．
解因为limn→∞n〖〗（－1）n1＋sin1〖〗n－n2＝limn→∞1＋sin1〖〗n－n＝limn→∞1＋sin1〖〗n1〖〗sin1〖〗n－sin1〖〗n〖〗1〖〗n＝e－1故所求收敛半径为R＝e．
例4．6求幂级数∑∞〖〗n＝1（－i）n－1（2n－1）〖〗2nz2n－1的收敛半径．
解记fn（z）＝（－i）n－1（2n－1）〖〗2nz2n－1，则limn→∞fn＋1（z）〖〗 fn（z）＝limn→∞（2n＋1）2n｜z｜2n＋1〖〗（2n－1）2n＋1｜z｜2n－1＝1〖〗2｜z｜2当1〖〗2｜z｜2＜1时，即｜z｜＜2时，幂级数绝对收敛；
当1〖〗2｜z｜2＞1时，即｜z｜＞2时，幂级数发散．
所以，该幂级数的收敛半径为R＝2．
4．2．2幂级数的运算和性质
和实函数的幂级数类似，复变函数的幂级数也可以进行加、减、乘等运算．
设幂级数∑∞〖〗n＝0anzn＝S1（z）， ∑∞〖〗n＝0bnzn＝S2（z），收敛半径分别为R1、 R2，则∑∞〖〗n＝1anzn±∑∞〖〗n＝1bnzn＝∑∞〖〗n＝0（an±bn）zn＝S1（z）±S2（z），｜z｜＜R（4．5）∑∞〖〗n＝1anzn∑∞〖〗n＝1bnzn＝∑∞〖〗 n＝0（anb0＋an－1b1＋…＋a0bn）zn＝S1（z）S2（z）， ｜z｜＜R（4．6）其中，R＝min（R1，R2）．
复变函数的幂级数还可以进行复合运算．
设h（z）在D内解析，且｜h（z）｜＜R， z∈D，则f（h（z））在D内解析，且f（h（z））＝∑∞〖〗n＝0anhn（z）， z∈D．在f（z）的幂级数展开中，可以用z的一个函数h（z）去代换展开式中的z，这在后面解析函数的级数展开中经常用到．
幂级数∑∞〖〗n＝oanzn在其收敛圆｜z｜＜R内，还具有如下性质：
（1） 它的和函数S（z）＝∑∞〖〗n＝0anzn在｜z｜＜R内解析；
（2） 在收敛圆内幂级数可逐项求导，即S′（z）＝∑∞〖〗n＝1nanzn－1， ｜z｜＜R；（4．7）（3）在收敛圆内幂级数可逐项积分，即∫CS（z）dz＝∑∞〖〗n＝0∫Canzndz＝∑∞〖〗n＝0an〖〗n＋1zn＋1，（4．8）｜z｜＜R，C 为｜z｜＜R内的简单曲线．
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