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天下第一难题——《黎曼猜想漫谈》清华大学出版社

胡作玄（数学家，中国科学院系统科学研究所研究员）

2014-07-11 16:32:16 来源：中国图书商报

　　在20世纪末所有提出的未解问题当中，黎曼猜想都位列其中，它是对21世纪数学家的最大挑战。
　　
　　学习数学要做练习题，研究数学要去解难题，总之，数学离不开问题。数学中存在大量著名问题由来已久，早在古希腊时期（距今约2300年）就出现了著名的几何三大问题，它们是要求用圆规直尺三等分任意角、化圆为方、倍立方体。长年以来许多人耗尽脑筋要解决这些问题，连错误的“解法”都被写成几本书，最后到19世纪才得到否定的答案。时隔2000年以上，时至今日，我们已经不把这些赫赫有名的问题当回事，比它们重要的问题多得很哩。当然什么问题重要，什么问题不重要是个见仁见智的问题，不过那些推动数学发展，促使产生新理论、新观点、新方法而且持续受到数学家关注的问题肯定是重要的。近四个世纪，每个世纪都有许多这样的问题，具有代表性的有：17世纪的费马大定理；18世纪的哥德巴赫猜想；19世纪的黎曼猜想以及20世纪庞加莱猜想。它们都是经过近一个世纪乃至更长时间才得到解决甚至尚未解决的问题，这足以证明其难。而其中两个问题——费马大定理和庞加莱猜想的解决也是不久前的事，并给它们的解决者带来了应得的荣誉。
　　
　　还有两个问题至今尚未解决，一个是哥德巴赫猜想，另一个就是《黎曼猜想漫谈》（卢昌海）中讨论的黎曼猜想。哥德巴赫猜想可以说是中国的“国题”，至少有10万之众声称他们已解决了哥德巴赫猜想，当然，那不是真的，就在今年，2012年，一位华裔天才数学家陶哲轩在哥德巴赫问题上取得突破，但他也承认，离完全解决尚有距离。1994年，维尔斯完全证明费马大定理之后，原本对想解决哥德巴赫猜想的人是个鼓舞，实际上他们的人数却大大减少。对于那些“醉翁之意不在酒”的人，完全可以沿其他途径进行“坑蒙拐骗和假冒伪劣”的创新，而对解难题有点兴趣，又“十分执着”的人，则在数学修养和知识水平方面实在太差。对于后面一种人，像该书这样的科普或高级科普读物应该有点帮助。
　　
　　可是《黎曼猜想漫谈》所选的题目并非一般人能懂的，因此对于作者和读者来讲都是一个挑战。不管是已经解决的费马大定理还是尚未解决的哥德巴赫猜想，准备知识要求并不太多，当然逻辑的头脑是必不可少的。黎曼猜想则不然，没有点数学修养真不行。他首先得懂复分析，过去常称为复变函数论，它比大一学的微积分更高级，而微积分主要是实变量的实函数，单变量的情形，我们对函数有直观的了解，因为可以画出函数的图像来。图像画得好，函数的零点一目了然。黎曼猜想研究的是一个特殊的单复变函数ζ(s)的非平凡零点，可就没有一个直观的办法确定它到底在哪里，因此首要问题就是把它算出来。该书作者花了一定篇幅讲了算的故事，感谢计算机这事已不太成问题。按说数学家对于非常特殊的函数不太感兴趣，除非它非常有用。的确这个Zeta函数很有用，至少它和素数理论有关。高斯说“数论是数学的女王”，而素数又是数论的核心课题。哥德巴赫猜想不就是同素数有关吗？遗憾的是，素数是个难伺候的女王，关于它的问题一般都是极为困难。Zeta函数的确给素数找到了一个出路。
　　
　　我们说黎曼猜想想成为天下第一难题不完全由于其难度，而是其重要性。当然，对于哪个问题重要，哪个问题不那么重要，还是要看大数学家的态度。高斯就不认为费马大定理重要，但黎曼猜想几乎所有大数学家都认为重要，希尔伯特把它纳入其第8问题中，并一度自以为证明了它。其后研究黎曼猜想的大家很多，有些人尝试过没证出来，例如仅次于哥德尔的数理逻辑专家科恩；有人证明较弱情形，如哈代；有人进行推广，如韦伊及阿廷；也有大数学家出现了漏洞，如孔涅。智者千虑，必有一失。好的数学家要看他证对的结果以及他的方法对后人是否有启发。在20世纪末所有提出的未解问题当中，黎曼猜想都位列其中，它是对21世纪数学家的最大挑战。可是猜想它们何时解决往往是要出错的，甚至比较各个难题的解决难度都不一定准确。日本一些数学家组织一个“Zeta研究所”，他们曾猜想：2001年黎曼猜想会得到解决，而朗兰兹猜想要到2075年才能解决。事实恰巧相反，黎曼猜想恐怕尚需时日才能解决，而越南数学家吴宝珠却证明了朗兰兹引理从而荣获2010年度菲尔兹奖。看来黎曼猜想的解决也为期不远。
　　
　　科普至关重要，没有一个科学大国科普很差。该书给数学的科普开辟了一条新路，或许对中国的数学青年有些帮助。

　　来源：中国图书商报

本版责编：姜舒

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