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对四色问题的独特探讨——北京大学出版社《图说四色问题》序

张景中（中国科学院院士）

2008-05-20 14:51:32 来源：中华读书报2008年5月14日

我高兴地阅读了《图说四色问题》的书稿，认为该书稿是一部具有原创性的科普佳作，适合中学生、大学生、研究生，数学教师和数学爱好者阅读。

四色问题是一个世界著名数学难题。对它感兴趣甚至迷恋的大有人在。在各种教材与专著里以及数学普及读物里，往往都会讲到它。遗憾的是，一般除简单历史介绍外，大多
数都注重四色定理的各种等价命题的解说，以及四色定理机器证明方法的讲解，更具体实在的就很少涉及了。本书尽管篇幅不大，但内容独具特色。它基本上没有罗列四色定理的各种等价命题，对四色定理机器证明仅有数百字介绍，而主要是对一些简单例图及四色问题历史上的著名例图，给出较为丰富的、直观的、具体四着色结果，包括大量图形、表格。各种图、表和对这些图、表的解说构成本书主体。这种安排显著降低了阅读难度，对多数读者来说，更加通俗、直观、生动。

在长达一个半世纪的进程中，有众多知名数学家投身于四色问题。四色问题现今有数十种变体、等价说法和各种推广。但四色猜想本身的研究却进展缓慢。1976年美国数学家给出了四色定理的计算机证明，其基本证明思路“可约构形不可避免集合”的检验，仍然不容易用简单通俗的语言说得十分清楚明白。再者，由于传统的用纸、笔研究数学方法的局限，使十来个点的图（十来个国家的地图）的完整四着色分析，用手工的办法难于进行。一百多年来大量论文和四五十年来的不少专著、教材里，难于看到着了四种颜色的非平凡例图。这反映出人们对四色问题的认识还很初步，对具体图的四着色属性还知之甚少。这些使得四色问题的普及带有源于自身的固有困难。本书的新意，不完全是由于作者叙述、表达方面的写作技巧，而是由于作者在十多年潜心研究中处理了大批例图，获得丰富的、第一手原始基础资料。作者利用自己研究所得第一手资料，把四色难题的种种概念做了深入浅出、直观具体的表述，使得抽象、繁难的问题向简单、通俗跨了一大步。

本书中的素材主要来自作者自己的研究。作者处理的例图较为系统、完整（包括各已知著名例图和最小的四连通极大平面图、五连通极大平面图），例图的加工、处理较为细致、深入，所得第一手资料较为丰富。这些素材是其他专著及普及读物里现在还见不到的。因而本书有突出的原创性特点。

对于一般数学的求解问题，特别是组合数学的求解问题，通常要顺次地研讨：问题有没有解；解是惟一的还是批量的；惟一性证明或全部解的数量和结构性质；与批量解结构相关的不变量；解的性质与该问题其他相关属性的关联等等。四色问题长期以来，主要还在研讨有没有解的问题。至于有怎样的解，解的属性和结构，四着色和其他属性的关联，还都极少涉及。本书中，作者精选了自己十多年研究的部分结果，做了通俗化介绍。这里包括：求出部分解；由单个解求出可由它经过二色变换得到的众多解（由根四着色生成四着色树）；算出一个图的全部四着色总数并具体算出全部四着色解；四着色不变量的发现和论证；四着色类型与哈米尔顿性关系等等；相当直观、通俗地讲述了这些较为系统的新结果。许多图表作为四色问题的基础材料，对读者增加知识也有很大帮助，也是许多读者、特别是数学爱好者都感兴趣的。

作者联系着四色问题的历史，依据自己研究工作的进程，细致、具体地描述了四色问题的种种迷人之处和一些重要进展的由来。作者恰当地采用功能强大的电脑和数学软件为工具，认真地、脚踏实地地进行原始资料（集中于批量例图的具体四着色）的发掘、搜集。具体展示了这个过程的概貌并努力引导读者一起观察、分析、探索，共享发现的乐趣。书稿里逻辑证明很少，并都十分初等、简单,主要是基于平面图欧拉公式的多元一次式的简单变换。简单、初等的方法能导出一些有价值的新结果，作者自认为是电脑和软件的作用。作者把这和伽利略用望远镜发现月球上的环型山相比较，用以说明：合理的科学方法、研究工具和老实的科学态度最为重要。

现今在广大数学爱好者中，有些人偏于急躁求成，不安心于踏实、细致的工作，盲目、轻率地发动对数学难题的攻坚。有些人稍有所获，就宣称自己有了重大发现、重大贡献，甚至轻率否定学界公认的已有结果。比较起来，本书作者十多年里默默无闻，脚踏实地，耐心、细致地“做例子”，积累基本事实材料；在对丰富材料的观察中力争有所发现，有所前进。这对爱好科学的读者们，会有积极的影响和启发。

《图说四色问题》，许寿椿著，北京大学出版社2008年1月第一版，35.00元

来源：中华读书报2008年5月14日

本版责编：姜舒

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